L03-N8 · Đề tài 1 — Mô phỏng Lấy mẫu & Khôi phục Tín hiệu

📘 Cơ sở lý thuyết

Lấy mẫu & Khôi phục Tín hiệu — Toàn cảnh

Lấy mẫu là quá trình chuyển một tín hiệu từ liên tục theo thời gian sang rời rạc để có thể xử lý bằng máy tính. Khôi phục là chiều ngược lại: từ chuỗi mẫu rời rạc dựng lại tín hiệu liên tục. Toàn bộ lý thuyết của quá trình này được đặt nền móng bởi định lý lấy mẫu Nyquist–Shannon, một trong những kết quả quan trọng nhất của xử lý tín hiệu.

1. Tín hiệu liên tục & rời rạc 2. Mô hình toán của lấy mẫu 3. Định lý Nyquist–Shannon 4. Phổ tín hiệu & aliasing 5. Bộ lọc anti-aliasing 6. Công thức Whittaker–Shannon 7. Ba phương pháp khôi phục 8. Đánh giá MSE / SNR 9. FFT & phân tích phổ 10. Ứng dụng thực tế

Tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc

Tín hiệu liên tục x(t) tồn tại tại mọi thời điểm t ∈ ℝ. Đây là dạng tự nhiên của hầu hết các đại lượng vật lý trong thực tế: âm thanh, ánh sáng, điện áp cảm biến, nhịp tim…

Tín hiệu rời rạc x[n] chỉ được xác định tại các thời điểm rời rạc n = 0, 1, 2, …, thường là kết quả của việc lấy mẫu một tín hiệu liên tục với chu kỳ T_s:

Tín hiệu liên tục

Định nghĩa trên trục thời gian thực, có thể có vô hạn giá trị trong bất kỳ khoảng hữu hạn nào.

x(t) = A·sin(2πft)

Tín hiệu rời rạc

Là chuỗi giá trị x[0], x[1], x[2]… lấy tại các điểm thời gian cách đều T_s.

x[n] = x(nT_s), n ∈ ℤ

Mục tiêu của xử lý số tín hiệu là làm việc với tín hiệu rời rạc nhưng vẫn giữ được càng nhiều thông tin càng tốt từ tín hiệu liên tục gốc.

Mô hình toán của quá trình lấy mẫu

Về mặt toán học, lấy mẫu lý tưởng được mô tả bằng phép nhân tín hiệu liên tục với một chuỗi xung Dirac (Dirac comb) tại các thời điểm nT_s:

Tín hiệu sau lấy mẫu là chuỗi xung có biên độ bằng giá trị tức thời của x(t):

Trong đó T_s = 1/f_s là chu kỳ lấy mẫu và f_s là tần số lấy mẫu. Mô hình này là lý tưởng — trong thực tế, các bộ ADC sử dụng mạch sample-and-hold để lưu giữ giá trị mẫu trong một chu kỳ.

Định lý lấy mẫu Nyquist–Shannon

Phát biểu kinh điển của định lý:

Một tín hiệu băng tần hữu hạn với tần số cao nhất f_max có thể được khôi phục chính xác từ các mẫu của nó nếu và chỉ nếu tần số lấy mẫu thỏa mãn f_s ≥ 2·f_max.

Tần số 2·f_max được gọi là tần số Nyquist. Một số tài liệu định nghĩa "tần số Nyquist" là f_s/2 — nghĩa là tần số cao nhất mà một hệ thống lấy mẫu với f_s có thể biểu diễn được không bị aliasing.

Ba trường hợp điển hình

Trường hợp	Điều kiện	Kết quả
Đạt Nyquist	f_s > 2·f_max	Khôi phục được chính xác (lý thuyết)
Tại ngưỡng	f_s = 2·f_max	Trên lý thuyết khôi phục được, thực tế dễ hỏng do pha
Aliasing	f_s < 2·f_max	Mất thông tin, các tần số cao bị "gập" về dải thấp

Lưu ý: Định lý chỉ đảm bảo khôi phục chính xác với tín hiệu băng tần hữu hạn. Các tín hiệu thực tế như sóng vuông, sóng tam giác, nhiễu… có vô hạn thành phần hài, do đó luôn có một mức aliasing nhất định và cần lọc trước khi lấy mẫu.

Bẫy pha 90° tại ngưỡng Nyquist

Trong định lý có dấu "lớn hơn hoặc bằng" — nhưng chính đẳng thức f_s = 2·f_max lại chứa một lỗ hổng nguy hiểm phụ thuộc vào pha của tín hiệu.

Xét hai tín hiệu cùng tần số 10 Hz, lấy mẫu ở đúng f_s = 20 Hz:

Tín hiệu	Pha	Các mẫu tại t = 0, 0.05, 0.10, 0.15 s	Khôi phục
cos(2π·10·t)	90°	[1, −1, 1, −1, …]	Đúng dạng sóng
sin(2π·10·t)	0°	[0, 0, 0, 0, …]	Mất sạch tín hiệu

Cùng tần số, cùng tần số lấy mẫu, nhưng chỉ vì pha lệch 90° mà một tín hiệu khôi phục được, một tín hiệu biến mất hoàn toàn. Lý do: ở pha 0°, các điểm lấy mẫu rơi đúng vào những điểm cắt 0 của sin, ADC ghi nhận tất cả là "im lặng".

Hệ quả thực tế: Trong kỹ thuật, kỹ sư luôn chọn f_s > 2·f_max với một khoảng dư gọi là guard band:

Audio CD: 20 kHz × 2 = 40 kHz, nhưng dùng 44.1 kHz
Điện thoại: 4 kHz × 2 = 8 kHz, dùng 8 kHz với bộ lọc anti-aliasing chặt

Trong app, bạn có thể tự kiểm chứng bằng nút Bẫy pha 90° tại ngưỡng Nyquist ở panel Mô phỏng: khi đặt sin 10 Hz, f_s = 20 Hz và đổi pha φ₁ giữa 0° và 90°, dạng sóng khôi phục sẽ chuyển từ "phẳng lì = 0" sang "có dạng cos" — minh họa trực quan vì sao không nên đặt f_s đúng bằng 2·f_max.

Phổ tín hiệu & hiện tượng aliasing

Theo lý thuyết Fourier, lấy mẫu trong miền thời gian tương đương với tích chập với chuỗi xung Dirac trong miền tần số. Điều này khiến phổ của tín hiệu sau lấy mẫu bị lặp lại tuần hoàn với chu kỳ f_s:

Khi f_s > 2·f_max, các bản sao phổ tách rời nhau, ta có thể lọc lấy lại bản gốc bằng bộ lọc thông thấp. Khi f_s < 2·f_max, các bản sao chồng lấn — đây chính là aliasing.

Một thành phần tần số f₀ nằm ngoài dải Nyquist sẽ xuất hiện ở vị trí "gập" trong dải thấp:

Đây là lý do tại sao một sóng sin 60 Hz lấy mẫu ở 80 Hz lại "trông giống" sóng 20 Hz — bằng đúng |60 − 80| = 20. Hiệu ứng cánh quạt máy bay quay ngược chiều trên video chính là aliasing trong miền không gian/thời gian.

Bộ lọc anti-aliasing

Trong mọi hệ thống số thực tế, trước khi đưa tín hiệu vào ADC ta phải dùng một bộ lọc thông thấp (LPF) với tần số cắt nhỏ hơn f_s/2 để loại bỏ các thành phần có thể gây aliasing.

Bộ lọc anti-aliasing thường dùng:

Butterworth — phẳng tối đa ở dải thông, chuyển tiếp mượt
Chebyshev — chuyển tiếp dốc hơn nhưng có gợn ở dải thông hoặc dải chặn
Elliptic (Cauer) — chuyển tiếp dốc nhất, có gợn ở cả hai dải

Trong app này, để giữ tính minh họa thuần lý thuyết, chưa thêm bộ lọc anti-aliasing. Khi gặp tín hiệu vuông hoặc tam giác có nhiều hài, ta cố tình quan sát aliasing để hiểu rõ hiện tượng.

Công thức nội suy Whittaker–Shannon

Định lý Nyquist khẳng định có thể khôi phục, công thức Whittaker–Shannon cho biết khôi phục bằng cách nào:

Ý nghĩa: thay mỗi xung lấy mẫu bằng một hàm sinc có biên độ bằng giá trị mẫu, rồi cộng tất cả lại. Hàm sinc(x) = sin(πx)/(πx) là đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp lý tưởng với tần số cắt f_s/2.

Đây là phương pháp khôi phục lý tưởng, nhưng không thực hiện được trong phần cứng vì:

Hàm sinc kéo dài vô hạn → cần vô hạn mẫu trong tương lai và quá khứ
Bộ lọc thông thấp lý tưởng (cánh chữ nhật) không tồn tại vật lý

Vì vậy thực tế dùng các xấp xỉ: ZOH, nội suy tuyến tính, spline, sinc cửa sổ hữu hạn (sinc truncated, Lanczos)...

Ba phương pháp khôi phục được mô phỏng

7.1. Giữ bậc thang — Zero-Order Hold (ZOH)

Giữ nguyên giá trị mẫu cuối cùng cho tới khi có mẫu mới:

Đáp ứng tần số:

Là hành vi mặc định của hầu hết các DAC bậc 0 trong thực tế
Đơn giản, sai số trung bình lớn nhất trong 3 phương pháp
Phổ bị méo do "đáp ứng sinc" của khối giữ mẫu, các tần số cao bị suy hao

7.2. Nội suy tuyến tính — Linear Interpolation

Nối hai mẫu liên tiếp bằng đoạn thẳng:

Tương đương DAC bậc 1, có thể nhìn như tích chập với hàm tam giác
Mịn hơn ZOH, sai số nhỏ hơn ở những tín hiệu đổi chậm
Phổ có hệ số sinc² — suy hao tần số cao mạnh hơn ZOH

7.3. Nội suy sinc lý tưởng

Áp dụng trực tiếp công thức Whittaker–Shannon ở mục 6.

Khôi phục chính xác hoàn toàn nếu f_s > 2·f_max và tín hiệu băng tần hữu hạn
Trong app này, sinc được tính trên một số mẫu hữu hạn nên có sai số biên
Dùng làm chuẩn so sánh với ZOH và Linear

Phương pháp	Độ phức tạp	Sai số	Hiện thực phần cứng
ZOH	O(1) mỗi điểm	Lớn	Rất dễ — DAC bậc 0
Linear	O(1) mỗi điểm	Trung bình	Dễ — DAC bậc 1 / FPGA
Sinc	O(N) mỗi điểm	Nhỏ nhất	Không — phải xấp xỉ bằng FIR cửa sổ

Đánh giá chất lượng khôi phục: MSE và SNR

Để đánh giá định lượng độ chính xác của tín hiệu khôi phục, dùng các chỉ số:

8.1. Mean Squared Error (MSE)

MSE càng nhỏ thì x̂(t) càng gần với x(t). Đơn vị là bình phương biên độ tín hiệu.

8.2. Root Mean Squared Error (RMSE)

Cùng đơn vị với biên độ tín hiệu, dễ so sánh trực quan với mức tín hiệu.

8.3. Signal-to-Noise Ratio (SNR)

Đơn vị decibel (dB). Trong app này, công suất nhiễu chính là MSE, công suất tín hiệu là (1/N)·Σx²(t).

Tham chiếu: với hệ thống ghi âm chất lượng tốt, SNR thường đạt 60–90 dB. Trong mô phỏng này, ở chế độ Nyquist sạch (không nhiễu), SNR có thể vượt 100 dB với phương pháp sinc.

FFT & phân tích phổ

Fast Fourier Transform (FFT) là thuật toán tính nhanh biến đổi Fourier rời rạc (DFT) với độ phức tạp O(N log N). Trong app này, FFT được hiện thực bằng giải thuật Cooley–Tukey radix-2:

FFT giúp ta quan sát ba bước của hệ thống lấy mẫu trong miền tần số:

FFT của tín hiệu gốc — phổ thật của x(t), có một hoặc vài đỉnh tại các tần số thành phần
FFT sau lấy mẫu — phổ rời rạc, tuần hoàn theo f_s, có thể quan sát được hiện tượng aliasing nếu vi phạm Nyquist
FFT sau khôi phục — phổ của x̂(t), lý tưởng phải trùng với phổ gốc

Trong app, tín hiệu được loại bỏ thành phần DC trước khi tính FFT để các đỉnh phổ nổi bật hơn, và biên độ được chuẩn hóa P1 một phía, nhân 2 ở các bin giữa — giống cách MATLAB tính phổ một phía.

Ứng dụng thực tế

Lấy mẫu và khôi phục là nền tảng cho hầu hết các hệ thống điện tử số hiện đại. Một số ví dụ:

Âm thanh số (CD, MP3, AAC): tần số lấy mẫu chuẩn 44.1 kHz hoặc 48 kHz, đảm bảo khôi phục được dải nghe được của tai người (20 Hz – 20 kHz)
Truyền thông số (4G, 5G, Wi-Fi): lấy mẫu và lượng tử hóa tín hiệu RF để xử lý số trên DSP / FPGA
Hệ thống đo lường & điều khiển: ADC trong các bộ điều khiển PID, robot, IoT
Y sinh: ECG (≥250 Hz), EEG (≥256 Hz), siêu âm (≥1 MHz)
Xử lý hình ảnh: camera là quá trình lấy mẫu 2D — cần lọc anti-aliasing quang học (low-pass filter trước cảm biến)

Tài liệu tham khảo

A. V. Oppenheim, R. W. Schafer. Discrete-Time Signal Processing, 3rd ed., Pearson, 2009.
S. K. Mitra. Digital Signal Processing: A Computer-Based Approach, 4th ed., McGraw-Hill, 2010.
C. E. Shannon. Communication in the Presence of Noise. Proc. IRE, vol. 37, no. 1, pp. 10–21, 1949.
H. Nyquist. Certain topics in telegraph transmission theory. Trans. AIEE, vol. 47, pp. 617–644, 1928.
R. G. Lyons. Understanding Digital Signal Processing, 3rd ed., Prentice Hall, 2010.
MathWorks Documentation — Signal Processing Toolbox, R2024a.

Thành viên	Công việc chính	Sản phẩm cần làm
Võ Phúc Thịnh 2313317	Lý thuyết lấy mẫu	Viết phần cơ sở lý thuyết: tín hiệu liên tục, tín hiệu rời rạc, lấy mẫu, định lý Nyquist, hiện tượng aliasing
Hà Toàn Phú 2312647	Code tạo tín hiệu và lấy mẫu	Viết chương trình tạo tín hiệu gốc (sin, tổng sin, vuông, tam giác), chọn tần số lấy mẫu, lấy mẫu tín hiệu
Nguyễn Xuân Quyết 2312889	Code khôi phục và tính sai số	Hiện thực ba phương pháp khôi phục ZOH, Linear, Sinc; tính MSE / SNR; so sánh kết quả
Hồ Minh Thao 2313092	Giao diện, báo cáo, slide, demo	Làm giao diện ứng dụng, tổng hợp báo cáo, làm PowerPoint và chuẩn bị kịch bản thuyết trình

Trường Đại học Bách Khoa — ĐHQG TP.HCM

Mô phỏng Lấy mẫu & Khôi phục Tín hiệu

Miền thời gian — …

FFT · Tín hiệu gốc

FFT · Sau lấy mẫu

FFT · Sau khôi phục

Vì sao hai phổ trên cùng nhìn "giống hệt"?

Cách đọc 4 chỉ số định lượng

Cách các con số được tính ra như thế nào?